Question

6．如圖，點(diǎn)D為BA延長線上的一點(diǎn)，且∠B=45°，∠D=∠ACB=60°，AB=3$\sqrt{2}$，
（1）試求BC的長；
（2）尺規(guī)作圖：作出△ADC的外接圓⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），并求出⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）作輔助線構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，一個(gè)是45°的等腰直角三角形，一個(gè)是60°的直角三角形，分別求出BE和EC，并相加．
（2）分別作邊DC和AC的垂直平分線，交點(diǎn)就是外接圓的圓心O；先求圓心角∠AOC=120°，在直角△OFC中利用勾股定理或三角函數(shù)求半徑的長．

解答 解：（1）如圖1，過A作AE⊥BC，垂足為E，
在直角△ABE中，∵∠B=45°，
∴AE=BE，
由勾股定理得：AE²+BE²=AB²，
2AE²=（3$\sqrt{2}$）²，
AE²=9，
AE=±3，
∵AE＞0，
∴AE=BE=3，
在直角△AEC中，∠ACB=60°，
∴tan60°=$\frac{AE}{EC}$，
∴EC=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=BE+EC=3+$\sqrt{3}$．
（2）如圖2，連接OA、OC，
∵∠D=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OF是AC的垂直平分線，
∴∠FOC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴FC=$\sqrt{3}$，
∴sin60°=$\frac{FC}{OC}$，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴⊙O的半徑為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓、等腰直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．本題的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)臉?gòu)建直角三角形，利用勾股定理或三角函數(shù)求邊長．