Question

4．九年級學(xué)生小剛是一個喜歡看書的好學(xué)生，他在學(xué)習(xí)完第二十四章圓后，在家里突然看到爸爸的初中數(shù)學(xué)書上居然還有一個相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等），非常好奇，仔細閱讀原來就是：PA•PB=PC•PD，小剛很想知道是如何證明的，可已證明部分污損看不清了，只看到輔助線的做法，分別連結(jié)AC、BD．聰明的你一定能幫他證出，請在圖1中做出輔助線，并寫出詳細的證明過程．

小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2，AB是⊙O弦，P是AB上一點，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半徑，愁壞了小剛，樂于助人的你肯定會幫助他，請寫出詳細的證明過程．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD，根據(jù)圓周角定理得到∠C=∠B，∠A=∠D，再根據(jù)三角形相似的判定定理得到△AEC∽△DEB，利用相似三角形的性質(zhì)得AE：DE=CE：BE，變形有AE•BE=CE•DE；由此得到相交弦定理；
（2）由AB=10，PA=4，OP=5，易得PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，根據(jù)相交弦定理得到PA•PB=PC•PD，即4×6=（R-5）×（R+5），解方程即可得到R的值．

解答 解：（1）圓的兩條弦相交，這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．
已知，如圖1，⊙O的兩弦AB、CD相交于E，
求證：AP•BP=CP•DP．
證明如下：
連結(jié)AC，BD，如圖1，
∵∠C=∠B，∠A=∠D，
∴△APC∽△DPB，
∴AP：DP=CP：BP，
∴AP•BP=CP•DP；
所以兩條弦相交，被交點分成的兩條線段的積相等．

（2）過P作直徑CD，如圖2，
∵AB=10，PA=4，OP=5，
∴PB=10-4=6，PC=OC-OP=R-5，PD=OD+OP=R+5，
由（1）中結(jié)論得，PA•PB=PC•PD，
∴4×6=（R-5）×（R+5），
解得R=7（R=-7舍去）．
所以⊙O的半徑R=7．

點評 本題考查了相交弦定理：圓的兩條弦相交，那么這兩條弦被交點分成的兩條線段的積相等．也考查了圓周角定理以及三角形相似的判定與性質(zhì)．