Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線y₁=-

2

3

x+2與x軸、y軸分別交于點A和點B，直線y₂=kx+b經(jīng)過點C（1，0）且與線段AB交于點P，并把△ABO分成兩部分，若△ABO被直線CP分成面積之比為1：2，求點P的坐標及直線CP的函數(shù)表達式．

Answer 1

考點：兩條直線相交或平行問題

專題：計算題

分析：先根據(jù)坐標軸上點的坐標特征求出B（0，2），A（3，0），再計算出S_△OAB=3，設(shè)P點的縱坐標為t，由于△ABO被直線CP分成面積之比為1：2，則分類討論：當S_△PCA=

2

3

S_△ABC=2時，

1

2

•2•t=2，解得t=2，利用y₁=-

2

3

x+2得到P（0，2），然后利用待定系數(shù)法求出直線PC的解析式；當S_△PCA=

1

3

S_△ABC=1時，則

1

2

•2•t=1，解得t=1，利用y₁=-

2

3

x+2得P（

3

2

，1），然后利用待定系數(shù)法求出直線PC的解析式．

解答：解：把x=0代入y₁=-

2

3

x+2得y=2，則B點坐標為（0，2）；
把y=0代入y₁=-

2

3

x+2得-

2

3

x+2=0，解得x=3，則A點坐標為（3，0），
所以S_△OAB=

1

2

×2×3=3，
設(shè)P點的縱坐標為t，
因為△ABO被直線CP分成面積之比為1：2，
當S_△PCA=

2

3

S_△ABC=2時，
則

1

2

•AC•t=2，即

1

2

•2•t=2，解得t=2，
把y=2代入y₁=-

2

3

x+2得-

2

3

x+2=2，解得x=0，則P（0，2），
把P（0，2）、C（1，0）代入y=kx+b得

b=2 k+b=0

，解得

k=-2 b=2

，
所以直線PC的解析式為y=-2x+2；
當S_△PCA=

1

3

S_△ABC=1時，
則

1

2

•AC•t=1，即

1

2

•2•t=1，解得t=1，
把y=1代入y₁=-

2

3

x+2得-

2

3

x+2=1，解得x=

3

2

，則P（

3

2

，1），
把P（

3

2

，1）、C（1，0）代入y=kx+b得

3 2 k+b=1 k+b=0

，解得

k=2 b=-2

，
所以直線PC的解析式為y=2x-2，
綜上所述，當點P的坐標為（0，2）時，直線CP的函數(shù)表達式為y=-2x+2；當點P的坐標為（

3

2

，1）時，直線CP的函數(shù)表達式為y=2x-2．

點評：本題考查了兩條直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．