Question

14．如圖①，AB∥CD，∠A=65°，∠C=40°．求∠AOC的度數(shù)．
解：過點O作OE∥AB，
因為AB∥CD，
根據(jù)“平行于同一條直線的兩條直線平行”，
所以OE∥CD
根據(jù)“兩條直線平行，內(nèi)錯角相等”，
所以∠1=∠A=65°，∠2=∠C=40°，
所以∠AOC=∠1+∠2=∠A+∠C=65°+40°=105°．
以上解決問題的過程，通過添加一條直線，把要求的角轉(zhuǎn)化為兩個角，使問題得到了解決，體現(xiàn)了數(shù)學學習中的轉(zhuǎn)化思想，試運用這種思想，解決下面的問題：
（1）如圖②，AB∥CD，∠A=112°，∠C=140°，求∠AOC．
（2）如圖③，已知AB∥CD，在直線AB上有一光源P，從點P發(fā)出的一束光線以與直線AB成32°角射向垂直于CD的標桿EF上的點E處，求∠PEF的度數(shù)．
 

Answer 1

分析 （1）過點O作OE∥AB，由平行線的判定定理得出OE∥CD，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）過點E作EG∥AB，則OEG=∠APE=32°，EG∥AB，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖②，過點O作OE∥AB，
∵AB∥CD，
∴OE∥CD，
∴∠A+∠AOE=180°，∠C+∠COE=180°，
∴∠AOE=180°-∠A=180°-112°=68°，∠COE=180°-∠C=180°-140°=40°，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=68°+40°=108°；

（2）如圖③，過點E作EG∥AB，則OEG=∠APE=32°．
∵AB∥CD，EG∥AB，
∴EG∥CD，
∴∠GEF+∠EFD=180°．
∵CD⊥EF，
∴∠EFD=90°，
∴∠GEF=90°，
∴∠PEF=∠PEG+∠GEF=32°+90°=122°．

點評 本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．