Question

20．如圖拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如題圖（1），求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，并直接寫出不等式ax²+bx+c＞0的解集；
（3）如題圖（2），連接BD、AD，點(diǎn)P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PQ∥BD交線段AD于點(diǎn)Q，求△PQD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用頂點(diǎn)式求出解析式即可；
（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，位于x軸上方的部分所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即為所求；
（3）根據(jù)PQ∥BD，得到△APQ∽△ABD，設(shè)AP=m，由相似三角形的面積比等于相似比的平方求出S_△APQ，則S_△PQD=S_△APD-S_△APQ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為：y=a（x+1）²-4，
將（0，-3）代入，得：-3=a（x+1）²-4，
解得a=1，
∴拋物線解析式為：y=（x+1）²-4；  
（2）當(dāng)y=0時(shí)，（x+1）²-4=0，得x₁=1，x₂=-3
∴拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為：A（-3，0），B（1，0），
對(duì)于不等式ax²+bx+c＞0的解集，即找到拋物線位于x軸上方時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍．
∴不等式的解集為x＜-3或x＞1；
（3）設(shè)AP=m
S_△PQD=S_△APD-S_△APQ
∵直線PQ∥BD
∴△APQ∽△ABD
得$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△ABD}}=（\frac{AP}{AB}）^{2}=（\frac{m}{4}）^{2}$，而S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴S_△APQ=$\frac{{m}^{2}}{2}$，
而S_△APD=$\frac{1}{2}$×m×4=2m，
∴S_△PQD=S_△APD-S_△APQ=-$\frac{{m}^{2}}{2}$+2m，
當(dāng)m=2時(shí)，S_最大=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積表示以及運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值等知識(shí)的綜合運(yùn)用，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示出S_△APQ和S_△APD是解決第3小題的關(guān)鍵．