Question

8．如圖，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，求證：AO⊥BC．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)F，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，再根據(jù)“SAS”判斷△BCE≌△CBD，則∠DBC=∠ECB，根據(jù)等腰三角形的判定得OB=OC，然后根據(jù)“SSS”可判斷△ABO≌△ACO，則∠BAO=∠CAO，然后根據(jù)等腰三角形“三線合一”即可得到AF⊥BC，得出結(jié)論．

解答 證明：如圖，

延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)F，∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CD}\\{∠EBC=∠DCB}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△CBD（SAS），
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC，
在△ABO和△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AO=AO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO=∠CAO，
∴AF⊥BC，
即AO⊥BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)；掌握三角形全等的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．