Question

20．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD與AE、AF交于G、H．
（1）求證：△ABE∽△ADF；
（2）若AG=AH，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的對角相等，以及垂直的定義可得△ABE和△ADF的兩角對應(yīng)相等，則兩個三角形相似；
（2）證明△ABG≌△ADH，則AB=AD，從而證得四邊形是菱形．

解答 解：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABE=∠ADF，
∴△ABE∽△ADF；
（2）∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG=∠DAH，
∴AG=AH，
∴∠AGH=∠AHG，
∴∠AGB=∠AHD，
∴△ABG≌△ADH，
∴AB=AD．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及菱形的判定，通過三角形全等證明AB=AD是本題的關(guān)鍵．