Question

如圖，等腰直角三角形ABC，AC=BC，若∠DCE=45°，且CD交AB于點M，CE交AB的延長線于點N，記AM=x，MN=y，BN=z，問以x，y，z為邊長的三角形是怎樣的三角形？并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形,旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：把△BCN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN′，連接MN′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AN′=BN，CN=CN′，∠NCN′=90°，再求出∠MCN′=45°，從而得到∠MCN′=∠DCE，然后利用“邊角邊”證明△MCN′和△MCN全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得MN=MN′，再求出∠MAN′=90°，然后利用勾股定理列式即可．

解答：解：如圖，把△BCN繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACN′，連接MN′，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AN′=BN，CN=CN′，∠NCN′=90°，
∵∠DCE=45°，
∴∠MCN′=90°-45°=45°，
∴∠MCN′=∠DCE，
在△MCN′和△MCN中，

CN=CN′ ∠MCN′=∠DCE CM=CM

，
∴△MCN′≌△MCN（SAS），
∴MN=MN′，
∵等腰直角△ABC中，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠CBN=180°-45°=135°，
∴∠MAN′=135°-45°=90°，
∴△AMN′是直角三角形，
∴AM²+AN′²=MN′²，
∴AM²+BN²=MN²，
即x²+z²=y²，
故以x，y，z為邊長的三角形是直角三角形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理和勾股定理逆定理，利用旋轉(zhuǎn)作輔助線構(gòu)造成全等三角形和直角三角形是解題的關鍵．