Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{12}{5}$與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，OM⊥AB，垂足為點(diǎn)M．
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）求OM的長；
（3）存在直線l上的點(diǎn)P，y軸上的點(diǎn)Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OMP全等，請求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)即可得出點(diǎn)A，B坐標(biāo)；
（2）利用三角形的面積公式建立方程即可得出OM，
（3）先判斷出滿足條件的兩個三角形全等，只有∠OQP=90°，再分PQ=OM和OQ=OM兩種情況討論計(jì)算．

解答 解：（1）令x=0，
∴y=$\frac{12}{5}$，
∴B（0，$\frac{12}{5}$）；
令y=0，
∴-$\frac{3}{4}$x+$\frac{12}{5}$=0，
∴x=$\frac{16}{5}$，
∴A（$\frac{16}{5}$，0）；
∴A（$\frac{16}{5}$，0），B（0，$\frac{12}{5}$）；
（2）由（1）知，A（$\frac{16}{5}$，0），B（0，$\frac{12}{5}$）；
∴OA=$\frac{16}{5}$，OB=$\frac{12}{5}$，AB=4，
∵OM⊥AB，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}OA×OB$=$\frac{1}{2}$AB×OM，
∴OM=$\frac{OA×OB}{AB}$=$\frac{48}{25}$；
（3）∵以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OMP全等，
∴OP是公共邊，在Rt△OMP中，OP為斜邊，
∴∠OQP=90°，
∴PQ∥x軸，
∵以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OMP全等，
∴PQ=OM或OQ=OM，
①當(dāng)PQ=OM時，
∴PQ=OM=$\frac{48}{25}$，
∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為$\frac{48}{25}$或-$\frac{48}{25}$，
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為$\frac{48}{25}$，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：$\frac{24}{25}$，
∴P（$\frac{48}{25}$，$\frac{24}{25}$），
∴Q（0，$\frac{24}{25}$）．
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為：-$\frac{48}{25}$，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為：$\frac{96}{25}$，
∴P（-$\frac{48}{25}$，$\frac{96}{25}$），
∴Q（0，$\frac{96}{25}$）．；
②當(dāng)OQ=OM時，OQ=OM=$\frac{48}{25}$，
∴Q（0，$\frac{48}{25}$）或（0，-$\frac{48}{24}$）；
即：滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，$\frac{24}{25}$）．或（0，$\frac{96}{25}$）．或（0，$\frac{48}{25}$）或（0，-$\frac{48}{24}$）．

點(diǎn)評 此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了坐標(biāo)軸上點(diǎn)的特征，三角形的面積公式，全等三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想列出方程，是一道中等難度的中考常考題．