Question

18．如圖1，已知△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E與AD平行的直線交射線AM于點(diǎn)N．
（1）將圖1中的△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A，B，E三點(diǎn)在同一直線上時(shí)（如圖2），判斷△ACN的形狀并說(shuō)明理由；
（2）將圖1中△BCE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)（A，B，M三點(diǎn)在同一直線上），（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，試證明之；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件，易證AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，由EN∥AD和點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，可以證得△ADM≌△NEM，即可得到AB=NE，從而可判定△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，可得△ACN為等腰直角三角形；
（2）根據(jù)已知條件，易得△ADM≌△NEM，根據(jù)四邊形BCEF內(nèi)角和為360°，可得∠ABC=∠FEC，從而可以證得△ABC≌△NEC，進(jìn)而可以證得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，即可得出△ACN為等腰直角三角形．

解答 解：（1）△ACN為等腰直角三角形．
理由：如圖2，∵△BAD和△BCE均為等腰直角三角形，
∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°，
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA=180°，
∵∠DAE=90°，
∴∠NEA=90°，
∴∠NEC=135°，
∵A，B，E三點(diǎn)在同一直線上，
∴∠ABC=180°-∠CBE=135°，
∴∠ABC=∠NEC，
∵EN∥AD，
∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM，
∵點(diǎn)M為DE的中點(diǎn)，
∴DM=EM，
在△ADM和△NEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠MNE}\\{∠ADM=∠NEM}\\{DM=EM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△NEM（AAS），
∴AD=NE，
∵AD=AB，
∴AB=NE，
在△ABC和△NEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=NE}\\{∠ABC=∠NEC}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△NEC（SAS），
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACN=∠BCE=90°，
∴△ACN為等腰直角三角形． 

（2）△ACN為等腰直角三角形仍成立．
證明：如圖3，A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上，
∵AD∥EN，∠DAB=90°，
∴∠ENA=∠DAN=90°，
∵∠BCE=90°，
∴∠CBN+∠CEN=360°-90°-90°=180°，
∵A、B、N三點(diǎn)在同一條直線上，
∴∠ABC+∠CBN=180°，
∴∠ABC=∠NEC，
由（1）可得，△ADM≌△NEM，
∴AD=NE，
∵AD=AB，
∴AB=NE，
在△ABC和△NEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=NE}\\{∠ABC=∠NEC}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△NEC（SAS），
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，
∴∠ACN=∠BCE=90°，
∴△ACN為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識(shí)的綜合應(yīng)用，滲透了變中有不變的辯證思想，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握等腰直角三角形的判定方法．