Question

如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=1，ED=2．

（1）求證：∠ABC=∠D；

（2）求AB的長；

（3）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）直線FA與圓O相切，理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）由AB=AC，利用等邊對等角得到∠ABC=∠C，再由同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠D，等量代換即可得證.

（2）由（1）的結論與公共角相等，得到△ABE∽△ADB，由相似得比例，即可求出AB的長.

（3）直線FA與圓O相切，理由為：連接OA，由BD為直徑，得到∠BAD為直角，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的長，得到AB=OB=OA，得到∠FBA=∠F，∠BAO=∠BOA，確定出∠OAF為直角，即可得證．

試題解析：解：（1）證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C.

∵∠C與∠D都對，且在AB的同側，∴∠C=∠D.

∴∠ABC=∠D.

（2）∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB. ∴.

∵AE=1，ED=2，∴，解得：AB=.

（3）直線FA與圓O相切．理由如下：

如答圖，連接OA，

∵BD為圓O的直徑，∴∠BAD=90°.

在Rt△ABD中，AB=，AD=1+2=3，

根據(jù)勾股定理得：BD=2，

∴OB=OA=AB=.

∵BF=OB，∴AB=FB=OB. ∴∠FBA=∠F，∠BAO=∠BOA.

∴∠OAF=90°.

∴直線AF與圓O相切．

考點：1.等腰三角形的性質；2.圓周角定理；3.相似三角形的判定與性質；4.切線的判定；5.勾股定理．