Question

18．閱讀下面的材料：某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：
如果α，β都為銳角，且tanα=$\frac{1}{4}$，tanβ=$\frac{3}{5}$，求α+β的度數(shù)．
該數(shù)學(xué)課外小組最后是這樣解決問(wèn)題的：如圖1，把α，β放在正方形網(wǎng)格中，使得∠ABD=α，∠CBE=β，且BA，BC在直線BD的兩側(cè)，連接AC．
（1）觀察圖象可知：α+β=45°；
（2）請(qǐng)參考該數(shù)學(xué)小組的方法解決問(wèn)題：如果α，β都為銳角，當(dāng)tanα=3，tanβ=$\frac{1}{2}$時(shí)，在圖2的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出∠MON=α-β，并求∠MON的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由BC²=AB²+AC²=2AB²，得出△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，那么α+β=∠ABC=45°；
（2）連結(jié)MN，由OM²=ON²+MN²=2ON²，得出△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM=90°，那么α-β=∠MON=45°．

解答 解：（1）如圖1．
∵BC²=3²+5²=34，AB²=4²+1²=17，AC²=4²+1²=17，
∴BC²=AB²+AC²=2AB²，
∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC=90°，
∴α+β=∠ABC=45°．
故答案為45；
（2）如圖2，連結(jié)MN．
∵OM²=3²+1²=10，ON²=2²+1²=5，MN²=2²+1²=5，
∴OM²=ON²+MN²=2ON²，
∴△OMN是等腰直角三角形，且∠ONM=90°，
∴α-β=∠MON=45°

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，利用網(wǎng)格結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算，判斷所求角所在的三角形是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．