Question

14．已知在等邊△ABC中，AB=8，點E在直線AB上，點F在直線AC上（點E、F不與點A、B、C重合），連接CE、BF，且∠BCE=∠ABF，將線段BF繞點B逆時針旋轉60°得到線段BM，連接CM．
（1）如圖1，若點E、F分別在線段AB與線段AC上
①求證：四邊形CEBM是平行四邊形；
②當∠ACE的度數(shù)為多少時，四邊形CEBM是矩形，并求此時四邊形CEBM的面積；
（2）如圖2，若點E、F分別在線段BA與線段AC的延長線上時，請猜想四邊形CEBM是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）①由旋轉的性質得出BM=BF，∠FBM=60°，由等邊三角形的性質得出∠A=∠ABC=60°，AB=BC，得出∠ABF=∠CBM，證出∠CBM=∠BCE，得出CE∥BM；由SAS證明△ABF≌△CBM，得出對應角相等∠BCM=∠A=60°，得出∠BCM=∠ABC，證出BE∥CM，即可得出結論；
②證出∠BEC=90°，即可得出四邊形CEBM是矩形；由等邊三角形的性質得出BE，由勾股定理求出CE，即可求出矩形的面積；
（2）同（1）①，先證明CE∥BM，再證明△ABF≌△CBM，得出∠BCM=∠BAC=60°，證出BE∥CM，即可得出結論．

解答 解：（1）①由旋轉的性質得：BM=BF，∠FBM=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
∴∠ABF=∠CBM，
∵∠BCE=∠ABF，
∴∠CBM=∠BCE，
∴CE∥BM，
在△ABF和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABF=∠CBM}&{\;}\\{BF=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBM（SAS），
∴∠BCM=∠A=60°，
∴∠BCM=∠ABC，
∴BE∥CM，
∴四邊形CEBM是平行四邊形；
②當∠ACE=30°時，四邊形CEBM是矩形；
此時四邊形CEBM的面積為16$\sqrt{3}$；理由如下：
∵∠BEC=∠A+∠ACE=60°+30°=90°，
∴四邊形CEBM是矩形；
∵△ABC是等邊三角形，∠BEC=90°，
∴BE=AE=$\frac{1}{2}$AB=4，
∴CE=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴矩形CEBM的面積=BE•CE=4×4$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$；
（2）四邊形CEBM是平行四邊形；理由如下：
由旋轉的性質得：BM=BF，∠FBM=60°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵∠BCE=∠ABF，
∴∠ACE=∠CBF，
又∵∠FBM=60°，
∴∠CBM=∠BCE，
∴CE∥BM，
在△ABF和△CBM中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABF=∠CBM}&{\;}\\{BF=BM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBM（SAS），
∴∠BCM=∠BAC=60°，
∴∠BCM=∠ABC，
∴BE∥CM，
∴四邊形CEBM是平行四邊形．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定、平行四邊形的判定、矩形的判定等知識；本題難度較大，綜合性強，需要通過證明三角形全等得出平行線才能得出結論．