Question

6．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$cm，∠C=30°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1cm/s的速度向點B勻速運動，當(dāng)其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．
（1）當(dāng)t為何值時，DF⊥ED；
（2）當(dāng)t為何值時，四邊形AEFD是菱形？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)DE∥BC時，可以證明四邊形BEDF是矩形，由$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$列出方程即可解決．
（2）當(dāng)AE=AD時，可以證明四邊形AEFD是菱形，列出方程即可．

解答 解：（1）當(dāng)DE∥BC時，∵DF∥AB，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵DF⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∴四邊形BEDF是矩形，
∴∠EDF=90°即DE⊥DF．
在RT△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°，
∴AB=5，AC=10，
∵DE∥BC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{t}{5}$=$\frac{10-2t}{10}$，
∴t=$\frac{5}{2}$．
（2）∵在RT△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$•2t=t，
∵AE=t，
∴AE=DF，∵AE∥DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
當(dāng)AE=AD時，四邊形AEFD是菱形，
∴t=10-2t，
∴t=$\frac{10}{3}$，
∴t=$\frac{10}{3}$時，四邊形AEFD是菱形．

點評 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形、菱形的判定和性質(zhì)，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考常考題型．