Question

2．已知，在△AEF中，∠AEF=90°，AE=EF，△AEF與正方形ABCD有公共頂點(diǎn)A，連接CF，G為CF的中點(diǎn)，連接EG、DG．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在AD上時(shí)，請(qǐng)猜想線段EG、DG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若將△AEF繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，使點(diǎn)E在AD上，其他條件不變，此時(shí)（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直角三角形的性質(zhì)，得出EG=DG，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出EG⊥DG；
（2）首先連接AG、AC得出△AGE≌△FGE（SSS），進(jìn)而得出△AGD≌△CGD（SSS），即可得出EG=DG且EG⊥DG．

解答 解：（1）猜想EG=DG且EG⊥DG．證明如下：
如圖1所示：根據(jù)題意可知，∠CEF=∠CDF=90°
∵G是CF的中點(diǎn)
∴EG=CG=FG=$\frac{1}{2}$FC=DG（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）
∴∠1=∠2；∠3=∠4
∴∠5=2∠1；∠6=2∠3
∴∠DGE=∠5+∠6=2（∠1+∠3）=2∠ACD=90°
∴EG⊥DG；

（2）（1）中結(jié)論依然成立，證明如下：
如圖2所示，連接AG、AC，
∵∠AEF=90°，AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
∴∠EAF=45°，
又AC是正方形ABCD的對(duì)角線，故∠DAC=45°
將△AEF繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45°，使點(diǎn)E在AD上，
∴∠CAF=90°
∵G是CF的中點(diǎn)
∴AG=CG=FG；∠1=∠CAG
∵AE=EF，EG=EG，
在△AGE和△FGE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=FG}\\{EG=EG}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△FGE（SSS），
∴∠2=∠3=$\frac{1}{2}$∠AGF=$\frac{1}{2}$（∠CAG+∠1）；
∴AC∥EG，∴∠4=∠CAD=45°
又∵$\left\{\begin{array}{l}{AG=CG}\\{AD=CD}\\{DG=GD}\end{array}\right.$；
∴△AGD≌△CGD（SSS）
∴∠5=∠6=$\frac{1}{2}$∠ADC
∴∠DGE=90°，
∴EG=DG且EG⊥DG．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，得出△AGD≌△CGD是解題關(guān)鍵．