Question

2．直線y=2x+2與y軸交于A點，與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點M，過M作MN⊥x軸于點H，OA=2HO．
（1）求k值．
（2）點N（a，1）是圖象上另一個點，在x軸上是否存在點P使得△PMN周長最��？若存在，求出P點坐標(biāo)和PM+PN的長；若不存在，請說明理由．
（3）求出S_△AMN．

Answer 1

分析 （1）先由直線y=2x+2與y軸交于A點，求出A點坐標(biāo)為（0，2），OA=2，根據(jù)OA=2OH，得出OH=1．由MH⊥x軸可知M點橫坐標(biāo)為1，而點M在直線y=2x+2上，所以當(dāng)x=1時，y=2×1+2=4，即M（1，4），再將點M的坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$，即可求出k的值；
（2）先由點N（a，1）是反比例函y=$\frac{4}{x}$（x＞0）圖象上的點，求出a=4，即點N（4，1）．再作N關(guān)于x軸的對稱點N′，連結(jié)MN′，交x軸于點P，此時PM+PN最�。�根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩點的坐標(biāo)特征得出點N′（4，-1），利用待定系數(shù)法求出直線MN′的解析式，再令y=0，求出x的值，進而得到點P的坐標(biāo)；
（3）連接AN，先用待定系數(shù)法求出直線AN的解析式，進而可得出E點坐標(biāo)，利用S_△AMN=S_△AEM+S_△MNE即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵直線y=2x+2與y軸交于A點，
∴A點坐標(biāo)為（0，2），OA=2，
∵OA=2OH，
∴OH=1．
∵MH⊥x軸，
∴M點橫坐標(biāo)為1，
∵點M在直線y=2x+2上，
∴當(dāng)x=1時，y=2×1+2=4，
∴M（1，4），
∵點M在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴k=1×4=4；

（2）存在．
∵點N（a，1）是反比例函y=$\frac{4}{x}$（x＞0）圖象上的點，
∴a=4，即點N（4，1）．
作N關(guān)于x軸的對稱點N′，連結(jié)MN′，交x軸于點P，此時PM+PN最小．
∵N與N′關(guān)于x軸，點N（4，1），
∴點N′（4，-1）．
設(shè)直線MN′的解析式為y=mx+n，
則$\left\{\begin{array}{l}m+n=4\\ 4m+n=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=-\frac{5}{3}\\ n=\frac{17}{3}\end{array}\right.$，
∴直線MN′的解析式為y=-$\frac{5}{3}$x+$\frac{17}{3}$，
令y=0，得x=$\frac{17}{5}$，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{17}{5}$，0）；

（3）連接AN，設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵A（0，2），N（4，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ 4k+b=1\end{array}\right.$，解得k=-$\frac{1}{4}$，
∴直線AN的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x+2．
∵M（1，4），
∴E（1，$\frac{7}{4}$），
∴ME=4-$\frac{7}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴S_△AMN=S_△AEM+S_△MNE=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×（4-1）=$\frac{9}{8}$+$\frac{27}{8}$=$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及軸對稱的性質(zhì)．