Question

1．已知，如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑的⊙O交BC于D，OD交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，OA=1，AE=3．則下列結(jié)論正確的有①③④．
①∠B=∠CAD；②點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)；③$\frac{AD}{BD}$=$\frac{ED}{AE}$；④tan B=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$．

Answer 1

分析 ①依據(jù)同角的余角相等即可得出結(jié)論；②依據(jù)△ECD∽△EDA，求得CE=$\frac{11-2\sqrt{10}}{3}$≠$\frac{1}{2}$AE，即可得出點(diǎn)C不是AE的中點(diǎn)；③由△ECD∽△EDA，得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{ED}{AE}$，根據(jù)△ACD∽△BAD，可得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{AD}{BD}$，進(jìn)而得出$\frac{AD}{BD}$=$\frac{ED}{AE}$；④根據(jù)tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{ED}{AE}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠DAB=90°，
∵∠CAD+∠DAB=90°，
∴∠B=∠CAD，故①正確；
∵∠CAD=∠B=∠ODB=∠CDE，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EDA，
∴$\frac{CE}{ED}$=$\frac{ED}{AE}$，
∵OA=1，AE=3，
∴OE=$\sqrt{10}$，ED=$\sqrt{10}$-1，
∴$\frac{CE}{\sqrt{10}-1}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，
∴CE=$\frac{11-2\sqrt{10}}{3}$≠$\frac{1}{2}$AE，
即點(diǎn)C不是AE的中點(diǎn)，故②不正確；
由△ECD∽△EDA，得$\frac{CD}{AD}$=$\frac{ED}{AE}$，
在Rt△ABC中，AD⊥BC，
∴△ACD∽△BAD，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{AD}{BD}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{ED}{AE}$，故③正確；
tanB=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{ED}{AE}$=$\frac{\sqrt{10}-1}{3}$，故④正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理以及解直角三角形的運(yùn)用，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線(xiàn)構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合．