Question

2．如圖，直線y=-x與雙曲線$y=\frac{2}{x}$（只在第一象限內的部分）在同一直角坐標系內，現(xiàn)有一個半徑為1且圓心P在雙曲線$y=\frac{2}{x}$上的一個動圓⊙P，⊙P在運動過程中圓上的點與直線y=-x的最近距離為1．

Answer 1

分析 設直線y=-x向上平移b個單位與雙曲線$y=\frac{2}{x}$相交，與反比例函數(shù)解析式組成方程組，消去y，讓所得方程的根的判別式為非負數(shù)即可求得k的最小值，也就求得了至少平移的距離，找到反比例函數(shù)上的點到直線y=-x的最小距離，減去圓的半徑即可．

解答 解：設直線y=-x向上平移b個單位與雙曲線$y=\frac{2}{x}$相交，
則此時直線的解析式為y=-x+b，
由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
∴-x+b=$\frac{2}{x}$；
-x²+bx-2=0，
兩個函數(shù)有交點，則b²-8≥0，
解得b≥2$\sqrt{2}$，
∴直線y=-x至少向上平移2$\sqrt{2}$個單位才能與雙曲線y=$\frac{2}{x}$有交點，
∵直線y=-x向上移動2$\sqrt{2}$單位后與反比例函數(shù)圖象有一個交點，
那么y=-x+2$\sqrt{2}$與y=-x相距2個單位，
由于⊙P的半徑為1，所以⊙P在運動過程中圓上的點與直線y=-x的最近距離為1，
故答案為：1．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)知識的綜合運用，解決本題的關鍵是理解兩個函數(shù)解析式有交點，即兩個函數(shù)組合成的一元二次方程的根的判別式為非負數(shù)以及兩直線之間的距離的確定．