Question

4．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的一邊OA在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交線段BC于點(diǎn)P（不與端點(diǎn)B、C重合），交線段AB于點(diǎn)Q
（1）若P為邊BC的中點(diǎn)，求雙曲線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）求k的取值范圍；
（3）連接PQ，AC，判斷：PQ∥AC是否總成立？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，根據(jù)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)即可求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，3），則x=$\frac{k}{3}$，列出不等式即可解決問(wèn)題．
（3）根據(jù)兩邊成比例夾角相等的兩個(gè)三角形相似證明△BPQ∽△BCA，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∵點(diǎn)B坐標(biāo)（4，3），
∴BC=4，AB=3，
∵PC=PB，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（2，3），
∴反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{6}{x}$，
∵點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，$\frac{3}{2}$）．
（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，3），則0＜x＜4，
把點(diǎn)P（x，3）代入y=$\frac{k}{x}$得到，x=$\frac{k}{3}$，
∴0＜$\frac{k}{3}$＜4，
∴0＜k＜12．
（3）結(jié)論：PQ∥AC總成立．
理由：設(shè)P（m，3），Q（4，n），則3m=4n=k，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{4-m}{4}$=$\frac{4-\frac{k}{3}}{4}$=$\frac{12-k}{12}$，
$\frac{BQ}{BA}$=$\frac{3-n}{3}$=$\frac{3-\frac{k}{4}}{3}$=$\frac{12-k}{12}$，
∴$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，
∵∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BCA，
∴∠BPQ=∠BCA，
∴PQ∥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、反比例函數(shù)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，第三個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是證明三角形相似，利用相似三角形性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．