Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先由已知條件求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)拋物線的表達(dá)式是y=ax²+bx+c，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；
（2）由（1）中所求解析式可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+3m+4）．當(dāng)△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時(shí)，可分兩種情況進(jìn)行討論：①以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；②以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；利用勾股定理分別列出關(guān)于m的方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），
∴OA=4，
∵OA=OC=4OB，
∴OC=OA=4，OB=$\frac{1}{4}$OA=1，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0）．
設(shè)拋物線的表達(dá)式是y=ax²+bx+c，由題意得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的表達(dá)式是y=-x²+3x+4；

（2）存在．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m²+3m+4）．
∵A（4，0），C（0，4），
∴AC²=4²+4²=32，AP²=（m-4）²+（-m²+3m+4）²，CP²=m²+（-m²+3m）²．
當(dāng)△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時(shí)，可分兩種情況：
①如圖1，如果點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，那么AC²+AP²=CP²，
即32+（m-4）²+（-m²+3m+4）²=m²+（-m²+3m）²，
整理得m²-2m-8=0，
解得m₁=-2，m₂=4（不合題意舍去），
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-6）；
②如圖2，如果點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，那么AC²+CP²=AP²，
即32+m²+（-m²+3m）²=+（m-4）²+（-m²+3m+4）²，
整理得m²-2m=0，
解得m₁=2，m₂=0（不合題意舍去），
則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）；
綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，-6）或（2，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，完全平方公式等知識(shí)，難度適中．利用分類討論與方程思想是解題的關(guān)鍵．