Question

2．如下圖，正方形ABCD，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（G不與C、D重合），以CG為一邊向正方形ABCD外作正方形GCEF，連接DE、BG，并延長(zhǎng)BG交DE于點(diǎn)H．
（l）點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形DGEF是平行四邊形，并加以證明；
（2）判斷BG、DE的位置關(guān)系和大小關(guān)系；
（3）當(dāng)BH=13，DH=5時(shí)，求AH的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)題意可得DG∥EF，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知當(dāng)DG=EF，即DG=CG時(shí)，四邊形DGEF是平行四邊形；
（2）由四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，則可根據(jù)SAS證得△BCG≌△DCE，進(jìn)而得出答案；然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，求得∠CDE+∠DHG=90°，則可得BH⊥DE；
（3）連接BD，過點(diǎn)H作HN⊥AB，垂足為N，交DC于點(diǎn)M．先根據(jù)AB²+AD²=DH²+BH²求得正方形的邊長(zhǎng)，設(shè)HG=x，由△BCG∽△DHG，可求得HG=$\frac{20}{9}$，接下來由∠MHG=∠GBC可求得MG和MH的長(zhǎng)，從而可得到AN和HN的長(zhǎng)度，最后利用勾股定理即可求得AH的長(zhǎng)．

解答 解；（1）當(dāng)G是CD的中點(diǎn)，即CG=$\frac{1}{2}$CD時(shí)，四邊形DGEF是平行四邊形．
理由：∵G是CD的中點(diǎn)，
∴CG=GD．
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴DG∥EF，CG=EF．
∴DG=EF．
∴四邊形DGEF是平行四邊形．
∴當(dāng)G是CD的中點(diǎn)，即CG=$\frac{1}{2}$CD時(shí)，四邊形DGEF是平行四邊形；
（2）BG=DE，BG⊥DE．
理由：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴BG=DE，
∵△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∠CBG+∠BGC=90°，
∴∠CDE+∠DGH=90°，
∴∠DHG=90°，
∴BH⊥DE．
（3）如圖所示：連接BD，過點(diǎn)H作HN⊥AB，垂足為N，交DC于點(diǎn)M．

∵在Rt△BDH中，BD²=DH²+BH²=169+25=194，
∴BD=$\sqrt{194}$．
∵在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴AB=BD$•\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{97}$．
∵∠BGC=∠HGD，∠BCG=∠BHD，
∴△BCG∽△DHG．
∴$\frac{MH}{GC}=\frac{DH}{BC}$．
設(shè)GH=x，則$\frac{x}{CG}=\frac{5}{\sqrt{97}}$，整理得：CG=$\frac{\sqrt{97}x}{5}$．則DG=$\sqrt{97}-\frac{\sqrt{97}x}{5}$．
∵△BCG∽△DHG，
∴$\frac{MD}{BG}=\frac{GC}{DH}$，即$\frac{\sqrt{97}-\frac{\sqrt{97}x}{5}}{13-x}=\frac{5}{\sqrt{97}}$．
解得：x=$\frac{20}{9}$．
∴GC=$\frac{\sqrt{97}}{5}×\frac{20}{9}$=$\frac{4\sqrt{97}}{9}$．
∵∠MHG=∠GBC，
∴HM=GH•$\frac{9}{\sqrt{97}}$=$\frac{20}{9}×\frac{9}{\sqrt{97}}$=$\frac{20\sqrt{97}}{97}$，MG=$GH•\frac{4}{\sqrt{97}}$=$\frac{20}{9}×\frac{4}{\sqrt{97}}$=$\frac{80}{9\sqrt{97}}$．
∴MC=GC+MG=$\frac{4\sqrt{97}}{9}$+$\frac{80\sqrt{97}}{873}$=$\frac{52\sqrt{97}}{97}$，NH=$\sqrt{97}+\frac{20\sqrt{97}}{97}$=$\frac{117\sqrt{97}}{97}$．
∴AN=AB-BN=$\sqrt{97}-\frac{52\sqrt{97}}{97}$=$\frac{45\sqrt{97}}{97}$．
在Rt△ANH中，AH=$\sqrt{A{N}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{45\sqrt{97}}{97}）^{2}+（\frac{117\sqrt{97}}{97}）^{2}}$=$\sqrt{162}$=9$\sqrt{2}$．
∴AH的長(zhǎng)為9$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)和判定，利用相似三角形的性質(zhì)求得HG的長(zhǎng)度，從而得到AN和HN的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．