Question

10．如圖，⊙O過(guò)?ABCD的三頂點(diǎn)A、D、C，邊AB與⊙O相切于點(diǎn)A，邊BC與⊙O相交于點(diǎn)H，射線AP交邊CD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，點(diǎn)P在射線AO上，且∠PCD=2∠DAF．
（1）求證：△ABH是等腰三角形；
（2）求證：直線PC是⊙O的切線；
（3）若AB=2，AD=$\sqrt{17}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）要想證明△ABH是等腰三角形，只需要根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得∠B=∠ADC，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可得∠ADC+∠AHC=180°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可知∠AHC+∠AHB=180°，從而可以得到∠ABH和∠AHB的關(guān)系，從而可以證明結(jié)論成立；
（2）要證直線PC是⊙O的切線，只需要連接OC，證明∠OCP=90°即可，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和邊AB與⊙O相切于點(diǎn)A，可以得到∠AEC的度數(shù)，又∠PCD=2∠DAF，∠DOF=2∠DAF，∠COE=∠DOF，通過(guò)轉(zhuǎn)化可以得到∠OCP的度數(shù)，從而可以證明結(jié)論；
（3）根據(jù)題意和（1）（2）可以得到∠AED=90°，由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，由AB=2，AD=$\sqrt{17}$，可以求得半徑的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵四邊形ADCH是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠ADC+∠AHC=180°，
又∵∠AHC+∠AHB=180°，
∴∠ADC=∠AHB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ADC=∠B，
∴∠AHB=∠B，
∴AB=AH，
∴△ABH是等腰三角形；
（2）證明：連接OC，如右圖所示，
∵邊AB與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴BA⊥AF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴CD⊥AF，
又∵FA經(jīng)過(guò)圓心O，
∴$\widehat{DF}=\widehat{CF}$，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠DAF，
又∵∠PCD=2∠DAF，
∴∠COF=∠PCD，
∵∠COF+∠OCE=90°，
∴∠PCD+∠OCE=90°，
即∠OCP=90°，
∴直線PC是⊙O的切線；
（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB=2，
∵FA⊥CD，
∴DE=CE=1，
∵∠AED=90°，AD=$\sqrt{17}$，DE=1，
∴AE=$\sqrt{（\sqrt{17}）^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{17-1}=\sqrt{16}=4$，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，OE=AE-OA=4-r，
∵∠OED=90°，DE=1，
∴r²=（4-r）²+1²
解得，r=$\frac{17}{8}$，
即⊙O的半徑是$\frac{17}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、同弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．