Question

3．（1）在△ABC中，∠BAC=45°，CD，AE是高，探究AE，CE，DE的關(guān)系，并證明；
（2）在△ABC中，∠BAC=α，CD，AE是高，探究AE，CE，DE的關(guān)系，并證明．（結(jié)果用含α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：AE+CE=$\sqrt{2}$DE，延長EA到F使得AF=CE，只要證明△DAF≌△DCE即可解決問題；
（2）結(jié)論：ED=AE•sinα-CE•cosα，在AE上取一點(diǎn)F使得∠ADF=∠EDC，在AE上取一點(diǎn)F使得∠ADF=∠EDC，由△DAF∽△DCE，得$\frac{CE}{AF}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DC}{DA}$=tanα，所以AF=$\frac{CE}{tanα}$，再根據(jù)$\frac{DE}{EF}$=sinα，求出DE即可．

解答 解：（1）結(jié)論AE+CE=$\sqrt{2}$DE理由如下：
延長EA到F使得AF=CE，
∵CD⊥AB，AE⊥CB，∠BAC=45°，
∴∠ADC=∠AEC=90°，∠DAC=∠DCA=45°，
∴DA=DC，∠DAE+∠DCE=180°，
∵∠DAF+∠DAE=180°，
∴∠DAF=∠DCE，
在△DAF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠DAF=∠DCE}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△DAF≌△DCE，
∴DE=DF，∠ADF=∠CDE，
∴∠EDF=∠ADC=90°，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，
∴AE+EC=AE+AF=FE=$\sqrt{2}$DE．
（2）結(jié)論：DE=AE•sinα-CE•cosα，理由如下：
在AE上取一點(diǎn)F使得∠ADF=∠EDC，
∵∠ADF=∠EDC，
∴∠EDF=∠CDA=90°，
∵∠ADC=∠AEC=90°，
∴A、D、E、C四點(diǎn)共圓，
∴∠DAF=∠DCE，
∴△DAF∽△DCE，
∴$\frac{CE}{AF}$=$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DC}{DA}$=tanα，
∴AF=$\frac{CE}{tanα}$，
∵∠DFE+∠DEF=90°，∠DCA+∠BAC=90°，∠DEF=∠DCA，
∴∠DFE=∠DAC=α，
∴$\frac{DE}{EF}$=sinα，
∴ED=EF•sinα=（AE-AF）sinα=（AE-$\frac{CE}{tanα}$）sinα=AE•sinα-CE•cosα．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、四邊形內(nèi)角和定理、四點(diǎn)共圓的判定和性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．