Question

20．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE⊥AB，BF⊥AB，且∠ECF=45°．若AE=$\sqrt{2}$，BF=$\sqrt{10}$，則EF的長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作ED⊥BF于D，由已知條件和等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CAE=∠FBC，證出∠1=∠2，得出△ACE∽△BFC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出AC•BC=AE•BF=AC²，求出AC²=2$\sqrt{5}$，得出DE²=4$\sqrt{5}$，由勾股定理求出EF即可．

解答 解：作ED⊥BF于D，如圖所示：
∵∠ECF=45°，∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=45°，
∵AE⊥AB，BF⊥AB，
∴∠EAB=∠ABF=90°，
∴∠CAE=45°+90°=135°=∠FBC，
∴∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△ACE∽△BFC，
∴$\frac{AC}{BF}=\frac{AE}{BC}$，
∴AC•BC=AE•BF=AC²，
∴AC²=$\sqrt{2}$×$\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$，
∴DE²=AB²=2AC²=4$\sqrt{5}$，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{{\;}^{2}}}$=$\sqrt{4\sqrt{5}+（\sqrt{10}-\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$；
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理；由三角形相似得出AC²的值是解決問題的關(guān)鍵．