Question

14．如圖，一個正比例函數(shù)y₁=k₁x的圖象與一個一次函數(shù)y₂=k₂x+b的圖象相交于點A（3，4），且一次函數(shù)y₂的圖象與y軸相交于點B（0，-5），與x軸交于點C．
（1）判斷△AOB的形狀并說明理由；
（2）若將直線AB繞點A旋轉(zhuǎn)，使△AOC的面積為8，求旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式；
（3）在x軸上求一點P使△POA為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)特征和勾股定理求出AO的長，根據(jù)等腰三角形的判定定理證明即可；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出OC的長，得到點C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式即可；
（3）分OA=OP、OA=AP、OP=AP三種情況，結(jié)合圖形、根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、運(yùn)用勾股定理解得即可．

解答 解：（1）∵點A的坐標(biāo)為（3，4），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形；
（2）△AOC的面積=$\frac{1}{2}$×OC×4=8，
∴OC=4，
則點C的坐標(biāo)為（4，0）或（-4，0），
當(dāng)點C的坐標(biāo)為（4，0）時，設(shè)旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=16}\end{array}\right.$，
∴旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式為y=-4x+16；
當(dāng)點C的坐標(biāo)為（-4，0）時，設(shè)旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式為y=ax+c，
則$\left\{\begin{array}{l}{3a+c=4}\\{-4a+c=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{7}}\\{b=\frac{16}{7}}\end{array}\right.$，
∴旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{7}$x+$\frac{16}{7}$，
答：旋轉(zhuǎn)后直線AB的函數(shù)解析式為y=-4x+16或y=$\frac{4}{7}$x+$\frac{16}{7}$；
（3）當(dāng)OA=OP時，點P的坐標(biāo)為（-5，0）或（5，0），
當(dāng)OA=AP時，∵點A的橫坐標(biāo)為3，
∴點P的坐標(biāo)為（6，0），
當(dāng)OP=AP時，
如圖，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0），
則（x-3）²+4²=x²，
解得，x=$\frac{25}{6}$，
∴點P的坐標(biāo)為（$\frac{25}{6}$，0），
∴所有符合條件的點P的坐標(biāo)為：（-5，0）；（5，0）；（6，0）；（$\frac{25}{6}$，0）．

點評 本題考查的是一次函數(shù)的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．