Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，動(dòng)點(diǎn)M以每秒1cm的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C移動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N以3cm的速度從點(diǎn)C向A移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)都停止移動(dòng)，連接MN，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，S_△MNC=S_{四邊形ABMN}？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△MNC與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）由題意可知：CM=6-t，CN=3t，因?yàn)镾_△MNC=S_{四邊形ABMN}，所以S_△MNC是△ABC的面積一半，由此列出方程解答即可；
（2）分兩種情況：△MCN∽△ACB，△MCN∽△BCA，得出對(duì)應(yīng)線段的比計(jì)算得出答案即可．

解答 解：（1）∵AC=8cm，BC=6cm，
∴S_△ABC=24cm²，
∵CM=6-t，CN=3t，S_△MNC=S_{四邊形ABMN}，
∴$\frac{1}{2}$×3t（6-t）=12，
解得：t₁=2，t₂=4；
∵當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，兩點(diǎn)都停止移動(dòng)，
∴0＜t＜$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)t=2時(shí)，S_△MNC=S_{四邊形ABMN}．
（2）①當(dāng)△MCN∽△ACB時(shí)，
則$\frac{MC}{AC}$=$\frac{CN}{CB}$，
即$\frac{6-t}{8}$=$\frac{3t}{6}$，
解得：t=$\frac{6}{5}$；
②當(dāng)△MCN∽△BCA時(shí)，
則$\frac{MC}{CB}$=$\frac{CN}{AC}$，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{3t}{8}$，
解得：t=$\frac{24}{13}$，
答：當(dāng)t為$\frac{6}{5}$，或$\frac{24}{13}$時(shí)，△MNC與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一元二次方程的實(shí)際運(yùn)用，相似的性質(zhì)，掌握三角形的面積和分類探討是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．