Question

11．在進(jìn)行二次根式運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到類似$\frac{3}{\sqrt{5}}$，$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步變形：$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$$\sqrt{5}$；$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\frac{2×（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}+1）（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{2（\sqrt{3}-1）}{（\sqrt{3}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$-1．
以上這種將分母變?yōu)橛欣硎降暮愕茸冃谓凶龇帜赣欣砘��?br />再如：$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
$\frac{1}{\sqrt{5}+2}$=$\frac{1×（\sqrt{5}-2）}{（\sqrt{5}+2）（\sqrt{5}-2）}$=$\frac{\sqrt{5}-2}{（\sqrt{5}）^{2}-（2）^{2}}$=$\sqrt{5}$-2
依照上述方法解答下列問題：
（1）填空：$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$；$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$．
（2）化簡求值：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{289}+\sqrt{288}}$（寫出解答過程）

Answer 1

分析 （1）利用材料中所給的方法求解即可；
（2）利用分母有理化的方法求解，注意消項(xiàng)．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{（\sqrt{6}+\sqrt{5}）（\sqrt{6}-\sqrt{5}）}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；
$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$=$\frac{2（\sqrt{7}+\sqrt{5}）}{（\sqrt{7}+\sqrt{5}）（\sqrt{7}-\sqrt{5}）}$=$\frac{2（\sqrt{7}+\sqrt{5}）}{（\sqrt{7}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$；
$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）（\sqrt{n-1}-\sqrt{n}）}$=$\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{（\sqrt{n+1}）^{2}-（\sqrt{n}）^{2}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；
故答案是：$\sqrt{6}$-$\sqrt{5}$；$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$；$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$；

（2）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{289}+\sqrt{288}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{289}$-$\sqrt{288}$
=-1+$\sqrt{289}$
=-1+17
=16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了分母有理化，根據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特點(diǎn)的式子．即一項(xiàng)符號(hào)和絕對(duì)值相同，另一項(xiàng)符號(hào)相反絕對(duì)值相同．