Question

19．已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，且點(diǎn)B（a+1，0），C（b，0）都在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，如圖所示，且滿足a²+b²-10a+4b+29=0，點(diǎn)D為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)為m，以BD為斜邊，按順時(shí)針順序作△BDE，使∠DEB=90°，EB=ED．
（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在線段AC上時(shí)，試求出點(diǎn)E坐標(biāo)（用含m的式子表示）；
（3）在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，取線段AD的中點(diǎn)F，連接EF，是否存在這樣的點(diǎn)D，恰使EF=2CD？若存在，求出符合條件的點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)B（a+1，0），C（b，0）都在平面直角坐標(biāo)系的x軸上，且滿足a²+b²-10a+4b+29=0，可求得a，b的值，從而求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)∠DEB=90°，EB=ED，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)為m，可以確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后作輔助線EG⊥x軸于點(diǎn)G，DF⊥EG于點(diǎn)F，然后根據(jù)題目中各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)（x，y），再根據(jù)圖形和各點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程組，從而得到用含m的式子表示表示點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題目中的信息和第二問(wèn)中求得的點(diǎn)E的坐標(biāo)進(jìn)行推導(dǎo)，可以得到使得EF=2CD時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵a²+b²-10a+4b+29=0，
∴（a-5）²+（b+2）²=0．
∴a-5=0，b+2=0．
解得，a=5，b=-2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0）．
（2）如下圖所示：作EG⊥x軸于點(diǎn)G，DF⊥EG于點(diǎn)F．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y）．
∵∠DEB=90°，EB=ED，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)D為射線AC上一動(dòng)點(diǎn)且縱坐標(biāo)為m，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，m）．
∴∠EFD=∠BGF=90°，DE=BE，∠DEF=∠EBG．
∴△DEF≌△EBF．
∴EF=BG，BF=EG．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-（-2）=y}\\{y-m=6-x}\end{array}\right.$．
解得，$x=\frac{4+m}{2}，y=\frac{8+m}{2}$．
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{4+m}{2}，\frac{8+m}{2}$）．
（3）存在這樣的點(diǎn)D，恰使EF=2CD．
第一種情況：當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)，如下圖所示：取AD的中點(diǎn)F，連接EF，作EG⊥AD于點(diǎn)G．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，8），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，m），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{4+m}{2}，\frac{8+m}{2}$），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），
∴CD=m，GE=$\frac{4+m}{2}-（-2）$=$\frac{8+m}{2}$，GF=$\frac{8+m}{2}-（\frac{8-m}{2}+m）=0$．
∴此時(shí)GE與EF重合，EF=GE=$\frac{8+m}{2}$．
∵EF=2CD，
∴$\frac{8+m}{2}=2m$．
解得，m=$\frac{8}{3}$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，$\frac{8}{3}$）．
第二種情況：當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，如下圖所示：

作EI⊥AC于點(diǎn)I，EH⊥x軸于點(diǎn)H，DG⊥EH交EH的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，8），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，m），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，$\frac{8+m}{2}$）．
設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
∵EB=ED，∠EID=∠EGD=∠EHB=90°，
∴△EID≌△EGD≌△EHB．
∴EI=EH，DI=BH．
又∵EF=2CD，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-（-2）=y}\\{y-m=6-x}\\{-2m=\sqrt{（x+2）^{2}+（y-\frac{8-m}{2}）^{2}}}\end{array}\right.$
解得，x=1.2，y=3.2，m=-1.6．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（-2，-1.6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根據(jù)關(guān)系式求值的問(wèn)題，可以根據(jù)題目中的信息，用代數(shù)式表示別的量的知識(shí)，根據(jù)題目中的信息進(jìn)行探索結(jié)論的相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)題目中的信息畫出符合要求的圖形，然后根據(jù)題目中的信息結(jié)合圖形進(jìn)行正確分析，進(jìn)而求得所要解答的問(wèn)題．