Question

5．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O是坐標原點，點A的坐標是（-1，0），點C的坐標是（0，-3）
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求直線BC的函數(shù)表達式；
（3）P為線段BC上一點，連接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應關系，可得B點坐標，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)兩個角對應相等的兩個三角形相似，相思三角形的性質(zhì)，可得BP的長，再根據(jù)平行線截三角形所得的三角形相似，相似三角形的性質(zhì)，可得BD的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．

解答 解：（1）將A、C點坐標代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）當y=0時，x²-2x-3=0，解得x=-1（不符合題意，舍），x=3，即B點坐標為（3，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，將B、C點的坐標代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
直線BC的解析式為y=x-3；
（3）如圖，
過點P作PD⊥x軸于點D，∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，
∴△ABP∽△CBA，$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BP}{AB}$．
∵BO=OC=3，
∴BC=3$\sqrt{2}$．
∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，∴$\frac{4}{3\sqrt{2}}$=$\frac{BP}{4}$，
解得BP=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．
由題意可得：PD∥OC，
∴△BDP∽△BOC，∴$\frac{PB}{BC}$=$\frac{DP}{CO}$=$\frac{BD}{BO}$，
則$\frac{\frac{8\sqrt{2}}{3}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{DP}{3}$=$\frac{BD}{3}$，
解得DP=BD=$\frac{8}{3}$，
S_△APB=$\frac{1}{2}$AB•PD=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$×4=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出PD的長是解題關鍵．