Question

我們把只有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形稱(chēng)為“單等角三角形”，這兩個(gè)三角形是不會(huì)相似的．分別用一條直線將一對(duì)“單等角三角形”分割成兩個(gè)三角形，如果其中一個(gè)三角形分割出的兩個(gè)小三角形與另一個(gè)三角形分割出的兩個(gè)小三角形分別相似，我們把這種分割稱(chēng)為“對(duì)相似分割”．
（1）已知△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=50°；△A₁B₁C₁中，∠A₁B₁C₁=90°，∠C₁A₁B₁=30°，將△ABC與△A₁B₁C₁進(jìn)行“對(duì)相似分割”．
方法1：如圖1或圖2所示：

請(qǐng)?jiān)趫D3中用另一種方法將這兩個(gè)三角形進(jìn)行“對(duì)相似分割”．（只須畫(huà)出割線，并標(biāo)出角度，不必寫(xiě)作法，不必證明 ）
（2）思考這兩種分割方法最大的區(qū)別，分別判斷這兩種方法是否對(duì)所有的“單等角三角形”都可以進(jìn)行“對(duì)相似分割”？如果可以，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不可以，請(qǐng)舉出反例．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)對(duì)相似分割的定義，可分割一個(gè)角，使兩個(gè)三角形是對(duì)相似分割三角形；
（2）根據(jù)最大角相等，分別分割兩個(gè)三角形中角，使之與另一個(gè)三角形的角對(duì)應(yīng)相等，可得對(duì)相似分割；根據(jù)分別分割兩個(gè)三角形的大角，使之與另一個(gè)三角形的角一個(gè)小角相等，所得的三角形不能分別相似．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）方法1對(duì)所有的“單等角三角形”都可以進(jìn)行“對(duì)相似分割”．
，
證明：在△ACB與△A₁C₁B₁中，
設(shè)∠ACB=∠A₁C₁B₁=α，設(shè)∠CAB=x，
∠CBA=y，設(shè)∠C₁A₁B₁=m，∠C₁B₁A₁=n，
∵α+x+y=α+m+n=180°，且x≠y≠m≠n
∴不妨設(shè)m＜x＜y＜n，
在∠BAC內(nèi)做∠BAD=∠C₁A₁B₁=m，交BC于點(diǎn)D，
在∠A₁B₁C₁內(nèi)做∠A₁B₁D₁=∠ABD=y，交A₁C₁于點(diǎn)D₁，
∴△ABD∽△A₁B₁D₁
∴∠ADC=∠B₁D₁C₁=m+y
又∵∠ACB=∠A₁C₁B₁=α，
∴△CAD∽△C₁B₁D₁
∴方法1對(duì)所有的“單等角三角形”都可以進(jìn)行“對(duì)相似分割”．
方法2不能對(duì)所有的“單等角三角形”都進(jìn)行“對(duì)相似分割”．
反例如下：
在△ACB與△A₁C₁B₁中，設(shè)∠ACB=∠A₁C₁B₁=120°，設(shè)∠CAB=30°，∠CBA=30°，設(shè)∠C₁A₁B₁=40°，∠C₁B₁A₁=20°，

在∠ACD內(nèi)做∠ACD=∠C₁B₁A₁=20°，交BC于點(diǎn)D，
在∠A₁C₁B₁內(nèi)做∠B₁C₁D₁=∠A=30°，交A₁B₁于點(diǎn)D₁，
∴△CAD∽△B₁C₁D₁
但是，在△A₁C₁D₁中，每個(gè)角都不等于30°，不可能與△CBD相似
∴方法2不能對(duì)所有的“單等角三角形”都進(jìn)行“對(duì)相似分割”．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似形綜合題，利用了對(duì)相似分割，注意大角相等時(shí)，分別分割中角使之與另一個(gè)三角形的角相等是對(duì)相似分割，題目稍有難度．