Question

如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，∠ADE=∠CDF．
（1）求證：AE=CF；
（2）連結DB交CF于點O，延長OB至點G，使OG=OD，連結EG、FG，判斷四邊形DEGF是否是菱形，并說明理由．

Answer 1

考點：正方形的性質,全等三角形的判定與性質,菱形的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質可得AD=CD，∠A=∠C=90°，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=CF；
（2）求出BE=BF，再求出DE=DF，再根據(jù)到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線可得BD垂直平分EF，然后根據(jù)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠A=∠C=90°，
在△ADE和△CDF中，

∠ADE=∠CDF AD=CD ∠A=∠C=90°

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF；

（2）四邊形DEGF是菱形．
理由如下：在正方形ABCD中，AB=BC，
∵AE=CF，
∴AB-AE=BC-CF，
即BE=BF，
∵△ADE≌△CDF，
∴DE=DF，
∴BD垂直平分EF，
又∵OG=OD，
∴四邊形DEGF是菱形．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，菱形的判定，熟記各性質并確定出全等三角形是解題的關鍵．