Question

9．在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上一點(diǎn)．B為x軸上一點(diǎn)，C（0，-2），D（-3，-2），直線MN經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)．
（1）如圖1．求△BCD的面積．
（2）如圖2，若A（-5，0），當(dāng)BC=AD時(shí)，請(qǐng)尺規(guī)作圖在圖2中作出點(diǎn)B的位置，并直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（3）如圖3，當(dāng)B恰好為∠ADC和∠ACN的角平分線交點(diǎn)時(shí)，記∠BDC=α，∠BCN=β，求∠DBC和∠DAC的度數(shù)（用含α、β的式子表示）．并寫出∠DAC和∠DBC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）先確定出OC，CD，在用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（2）以點(diǎn)C為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧和x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式建立方程即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）先根據(jù)角平分線的定義得出，∠ADC=2α，∠ACN=2β，再用三角形的外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）C（0，-2），D（-3，-2），
∴OC=2，CD=0+3=3，
∵點(diǎn)B在x軸上，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$×3×2=3；

（2）如圖2，

以點(diǎn)C為為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧與x交于點(diǎn)B和B'，
∴滿足條件的點(diǎn)B如圖2所示的點(diǎn)B和B'的位置，
∵A（-5，0），D（-3，-2），
∴AD=$\sqrt{4+4}$=2$\sqrt{2}$，
設(shè)B（m，0），
∵C（0，-2），
∴BC=$\sqrt{{m}^{2}+4}$，
∴m=±2，
∴B（-2，0）或（2，0）；

（3）∵BD是∠ADC的平分線，
∴∠ADC=2∠BDC=2α，
∵BC是∠BCN的角平分線，
∴∠ACN=2∠BCN=2β，
∵∠ACD是△ACD的外角，
∴∠ACN=∠ADC+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACN-∠ADC=2α-2β=2（α-β），
∵∠BCN是△BCD的外角，
∴∠BCN=∠BDC+∠DBC，
∴∠DBC=∠BCN-∠BDC=α-β，
∴∠DAC=2∠DBC．

點(diǎn)評(píng) 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，兩點(diǎn)間的距離公式，基本作圖，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，解（1）的關(guān)鍵是求出OC，CD，解（2）的關(guān)鍵是作出圖形，解（3）的關(guān)鍵是利用三角形的外角的性質(zhì)得出∠CAD=2（α-β），∠DB=α-β，是一道基礎(chǔ)題目．