Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為P（1，-4），在x軸上截得的線段AB長為4個單位，OA＜OB，拋物線與y軸交于點C．
（1）求這個函數解析式；
（2）試確定以B、C、P為頂點的三角形的形狀；
（3）已知在對稱軸上存在一點F使得△ACF周長最小，請寫出F點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據拋物線的頂點坐標以及在x軸上截得的線段AB長為4個單位，OA＜OB，得出A，B點坐標，進而得出拋物線解析式即可；
（2）利用網格以及勾股定理得出PC，BC，BP的長，進而得出△BCP的形狀；
（3）利用軸對稱求最短路徑的方法，首先確定F點位置，再求出直線BC的解析式，進而得出F點坐標．

解答：解：（1）如圖所示：
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為P（1，-4），在x軸上截得的線段AB長為4個單位，OA＜OB，
∴A點到對稱軸直線x=1的距離為2，B點到對稱軸直線x=1的距離為2，
∴A點坐標為；（-1，0），B點坐標為；（3，0），
設拋物線解析式為：y=a（x-1）²-4，
∴0=a（-1-1）²-4，
解得：a=1，
∴函數解析式為：y=x²-2x-3；

（2）如圖所示：
∵y=x²-2x-3的圖象與y軸交于點C（0，-3），
∴PC=

2

，BC=3

2

，BP=

20

=2

5

，
∴PC²+BC²=BP²，
∴以B、C、P為頂點的三角形的形狀是直角三角形；

（3）存在；
理由：如圖所示：∵A，B點關于直線x=1對稱，
∴BC與直線x=1的交點即為F點，此時△ACF周長最小，
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
∴

b=-3 3k+b=0

，
解得：

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為：y=x-3，
當x=1時，y=-2，
∴F（1，-2）．

點評：此題主要考查了二次函數的性質以及勾股定理以及逆定理和待定系數法求一次函數解析式、利用軸對稱求最短路徑應用等知識，根據題意正確畫出圖形，利用數形結合得出是解題關鍵．