Question

已知y₁=x²-2x+1，y₂=2x-k．
（1）當(dāng)k=-1時，是否存在實(shí)數(shù)x，使得y₁+y₂=0？如果存在，請求出x的值，如果不存在，請說明理由．
（2）對給定的實(shí)數(shù)k，是否存在實(shí)數(shù)x，使y₁=ky₂？如果存在，請確定k的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：存在型

分析：（1）當(dāng)k=-1時，由y₁+y₂=0得x²+2=0，根據(jù)判別式的意義得到方程沒有實(shí)數(shù)解，則不存在實(shí)數(shù)x使y₁+y₂=0；
（2）由y₁=ky₂，則x²-2x+1=k（2x-k），整理得x²-（2+2k）+1+k²=0，再計(jì)算判別式的值得到△=8k，所以當(dāng)k≥0時，方程有實(shí)數(shù)解，即對給定的實(shí)數(shù)k，存在實(shí)數(shù)x，使y₁=ky₂．

解答：解：（1）不存在．理由如下：
k=-1時，令y₁+y₂=0，得x²+2=0，
因?yàn)椤?1-4×2＜0，
所以方程沒有實(shí)數(shù)解，
即不存在實(shí)數(shù)x使y₁+y₂=0；
（2）存在．
令y₁=ky₂，則x²-2x+1=k（2x-k），
整理得x²-（2+2k）+1+k²=0，
因?yàn)椤?（2+2k）²-4（1+k²）=8k，
所以當(dāng)k≥0時，方程有實(shí)數(shù)解，即對給定的實(shí)數(shù)k，存在實(shí)數(shù)x使y₁=ky₂．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程無實(shí)數(shù)根．