Question

6．化簡：$\frac{1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{（1+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{5}）}$+$\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{7}+3}{（\sqrt{5}+\sqrt{7}）（\sqrt{7}+3）}$+…+$\frac{\sqrt{2n-1}+2\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}{（\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}）（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}）}$．

Answer 1

分析 先把分子變形后利用分式的加法的逆運算得到原式=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+3}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}$，然后分母有理化后合并即可．

解答 解：原式=$\frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{（1+\sqrt{3}）（\sqrt{3}+\sqrt{5}）}$+$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}+\sqrt{7}+3}{（\sqrt{5}+\sqrt{7}）（\sqrt{7}+3）}$+…+$\frac{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}{（\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}）（\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}）}$
=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$+$\frac{1}{\sqrt{7}+3}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n+1}}$+$\frac{1}{\sqrt{2n+1}+\sqrt{2n+3}}$
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1+$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$+3-$\sqrt{7}$+…+$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$+$\sqrt{2n+3}$-$\sqrt{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{2n+3}$-1）
=$\frac{\sqrt{2n+3}-1}{2}$．

點評 本題考查了二次根式的混合運算：二次根式的混合運算是二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用；二次根式的運算結(jié)果要化為最簡二次根式．在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．