Question

7．如圖，已知直線y=x+1與y軸交于點A，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點B（0，-1），并且與x軸以及直線y=x+1分別交于點C、D．
（1）求直線BD的函數(shù)表達式；
（2）求四邊形AOCD的面積；
（3）在y軸上是否存在這樣的點P，使得以P、B、D為頂點的三角形是等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象可知直線BD經(jīng)過點（0，-1）、（1，2），接下來利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求得點A、點C的坐標，從而得到OA=1，OC=$\frac{1}{3}$，最后根據(jù)S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD求解即可；
（3）先依據(jù)勾股定理求得BD的長，然后分為DP=DB、PD=PB，BP=BD三種情況進行計算即可．

解答 解：（1）設直線BD的解析式為y=kx+b．
∵直線BD經(jīng)過D（1，2），B（0，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
∴直線BD的解析式為y=3x-1．
（2）∵將x=0代入y=x+1得：y=1，
∴A（0，1）．
∵將y=0代入y=3x-1得：x=$\frac{1}{3}$，
∴C（$\frac{1}{3}$，0）．
∵S_{四邊形AOCD}=S_△AOD+S_△OCD，
∴S_{四邊形AOCD}=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×2=$\frac{5}{6}$．
（3）∵BD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴①當B為頂點時，BP=BD時，P（0，-1$+\sqrt{10}$）或（0，-1-$\sqrt{10}$）．
②當D為頂點時，DP=DB，則P（0，5）；
③當P為頂點時，PD=PB，BD的中點為E（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），設過點E垂直BD的直線為y=-$\frac{1}{3}$x+b′．
∵把點E代入得到b=$\frac{2}{3}$，
∴直線為y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{2}{3}$．
∴點P為（0，$\frac{2}{3}$）．
綜上所述點P的坐標分別為（0，5），（0，$-1-\sqrt{10}$），P（0，$\frac{2}{3}$），（0，-1$+\sqrt{10}$）．

點評 本題考查一次函數(shù)的求法、坐標系中四邊形面積的求法、等腰三角形等有關知識、勾股定理的應用，相互垂直的兩條直線的特點，學會用分割法求面積是解答問題（2）的關鍵，掌握相互垂直的兩條直線的一次項系數(shù)的乘積為-1以及分類討論是解答問題（3）的關鍵．