Question

13．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=25cm，CD=15cm，BC=35cm．動點M在AD邊上以2cm/秒的速度由A向D運動；動點N在CB上以3cm/秒的速度由C向B運動，若點M，N分別從A，C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動，假設(shè)運動時間為t秒，問：
（1）當(dāng)四邊形ABNM是矩形時，求出t的值；
（2）在某一時刻，是否存在MN=CD？若存在，則求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）四邊形ABNM為矩形，即AM=BN，列出等式，求解即可；
（2）①如果MN=CD，即四邊形MNCD為平行四邊形，即MD=CN，列出等式求解；②四邊形MNCD為等腰梯形，即CD=MN，過點M作MF⊥BC于F，根據(jù)勾股定理列出等式即可得出．

解答 解：∵設(shè)運動時間為t秒，
∴AM=2t（cm），MD=AD-AM=25-2t（cm），CN=3t（cm），BN=BC-CN=35-3t（cm），
（1）如圖1：∵AD∥BC，
∴當(dāng)MA=BN時，四邊形ABNM是平行四邊形，
∵∠B=90°，
∴四邊形ABNM是矩形，
即2t=35-3t，
解得：t=7，
∴t=7s時，四邊形ABNM是矩形，

（2）①∵AD∥BC，
∴當(dāng)四邊形MNCD是平行四邊形時，MN=CD，
此時有MD=CN，即3t=25-2t，
解得t=5．
∴當(dāng)t=5s時，MN=CD；
②當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時，MN=CD，
如圖所示：
在Rt△MNF和Rt△CDE中，
∵M(jìn)N=DC，MF=DE，
在Rt△MNF與Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{MN=DC}\\{MF=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△MNF≌Rt△CDE（HL），
∴NF=CE，
∴NC-MD=NC-EFNQF+EC=2CE，即3t-（25-2t）=20，
解得：t=9（s）
即當(dāng)t=9（s）時，四邊形PQCD為等腰梯形，此時MN=CD，
∴當(dāng)t=5或t=9（s）時，MN=CD．

點評 此題主要考查了矩形、平行四邊形、等腰梯形的判定與性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．