Question

4．如圖，四邊形ABHK是邊長為6的正方形，點C、D在邊AB上，且AC=DB=1，點P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側作正方形AMNP和正方形BRQP，
E、F分別為MN、QR的中點，連接EF，設EF的中點為G，則當點P從點C運動到點D
時，點G移動的路徑長為2．

Answer 1

分析 設KH的中點為S，連接PE，PF，SE，SF，PS，由三角形相似結合E為MN的中點，S為KH的中點可得A，E，S共線，F(xiàn)為QR的中點，S為KH的中點得B，F(xiàn)，S共線，再由三角形相似得到ES∥PF，PE∥FS，結合G為EF的中點可得G為PS的中點，即G的軌跡為△CSD的中位線，由三角形的中位線長是底邊的一半得答案．

解答 解：如圖，

設KH的中點為S，連接PE，PF，SE，SF，PS，
∵E為MN的中點，S為KH的中點，
∴A，E，S共線，
F為QR的中點，S為KH的中點，
∴B、F、S共線，
由△AME∽△PQF，得∠SAP=∠FPB，
∴ES∥PF，
△PNE∽△BRF，得∠EPA=∠FBP，
∴PE∥FS，
則四邊形PESF為平行四邊形，則G為PS的中點，
∴G的軌跡為△CSD的中位線，
∵CD=AB-AC-BD=6-1-1=4，
∴點G移動的路徑長$\frac{1}{2}×4=2$．
故答案為：2．

點評 本題考查了軌跡方程，考查了三角形的中位線知識，考查了三角形相似及動點的軌跡，是中檔題．