Question

如圖1，邊長為6的等邊△ABC中，點D沿射線AB方向由A向B運動，點F同時從C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向運動，過點D作DE⊥AC，連結(jié)DF交射線AC于點G．

（1）當(dāng)點D運動到AB的中點時，求AE的長；
（2）當(dāng)DF⊥AB時，求AD的長及△BDF的面積；
（3）小明通過測量發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點D在線段AB上時，EG的長始終等于AC的一半，他想當(dāng)點D運動到圖2的情況時，EG的長始終等于AC的一半嗎？若改變，說明理由；若不變，請證明EG等于AC的一半．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）解直角三角形ADE，根據(jù)30°角對應(yīng)直角邊為斜邊長一半即可解題；
（2）設(shè)AD=X，解直角三角形BDF即可求得X的值，即可求得△BDF的面積；
（3）過F作FH⊥AC，可證△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再證△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解題．

解答：解：（1）當(dāng)D為AB中點時，AD=3，
在RT△ADE中，∠A=60°，∠ADE=30°，
∴AE=AD•sinA=

3

2

．
（2）設(shè)AD=X，則CF=X，
當(dāng)DF⊥AB時，RT△BDF中，∠F=30°，
∴BF=2BD，6+X=2（6-X），
解得X=2，∴AD=2．
∴BD=6-2=4，
DF=BD•tanB=4

3

．
∴△BDF的面積為

1

2

BD•DF=8

3

．
（3）過F作FH⊥AC，

在△ADE和△CFH中，

∠AED=∠FHC=90° ∠A=∠FCH AD=CF

，
∴△ADE≌△CFH（AAS），
∴DE=FH，AE=CH，
∴AC=EH，
在△GDE和△GFH中，

∠DEG=∠FHG ∠DGE=∠FGH DE=FH

，
∴△GDE≌△GFH（AAS），
∴EG=GH，
∴EG=

1

2

EH=

1

2

AC．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證GDE≌△GFH是解題的關(guān)鍵．