Question

如圖，△ABC中，點D為AB中點，CD=AD．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）在圖中畫出△ABC的外接圓；
（3）已知AC=6，BC=8，點E是△ABC外接圓上任意一點，點M是弦AE的中點，當點E在△ABC外接圓上運動一周，求點M運動的路徑長．

Answer 1

考點：作圖—復雜作圖,三角形的外接圓與外心

專題：

分析：（1）由三條線段相等CD=AD=BD，得到∠ACD=∠A，∠DCB=∠B，再由三角形內角和得出∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，所以∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°△ABC為直角三角形．
（2）作AB和AC的中垂線交于點D，以D為圓心，AD為半徑畫圓，所得三角形就是△ABC的外接圓，因為CD=AD=BD，所以也可直接以D為圓心，AD為半徑畫圓，所得三角形就是△ABC的外接圓，
（3）連接DM．M是弦AE的中點，D為圓心，DM⊥AE，所以點M在以AD為直徑的圓上運動．求出AD的長度，再求周長為點M的運動路徑長為5π．

解答：解：（1）△ABC為直角三角形．
理由如下：
∵CD=AD，
∴∠ACD=∠A．
又∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∴CD=BD，
∴∠DCB=∠B．
∵∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，
∴△ABC為直角三角形．
（2）①如圖，作AB和AC的中垂線交于點D，以D為圓心，AD為半徑畫圓，所得三角形就是△ABC的外接圓，
②也可直接以D為圓心，AD為半徑畫圓，所得三角形就是△ABC的外接圓，

（3）如圖，連接DM．

∵M是弦AE的中點，D為圓心，
∴DM⊥AE，
∴點M在以AD為直徑的圓上運動．
在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴AD=5．
∴點M的運動路徑長為5π．

點評：本題主要考查了復雜作圖，作外接圓及外心，解決本題的關鍵是找準外接圓的圓心，明確M的規(guī)跡是以AD為直徑的圓．