Question

1．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=2，cot∠ACB=$\frac{4}{3}$，梯形ABCD的面積是9；
（1）求AB的長；
（2）求tan∠ACD的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銳角三角函數(shù)設(shè)出邊長，利用梯形的面積公式列方程即可；
（2）作DH⊥AC于H，利用三角形相似，列比例式求出DH=$\frac{6}{5}$，AH=$\frac{8}{5}$，CH=AC-AH=$\frac{17}{5}$，即可求出tan∠ACD=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{6}{17}$．

解答 解：（1）在R_tABC中，cot∠ACB=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)BC=4k，AB=3k，
∴S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AD+BC）•AB=$\frac{1}{2}$（2+4k）•3k=9，
∴k=1或k=-$\frac{3}{2}$（舍），
∴AB=3；

（2）作DH⊥AC于H，
∵AD∥BC，
∴∠DAH=∠ACB，
∴△ADH∽△CAB，
∴$\frac{DH}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AH}{BC}$=$\frac{2}{5}$，
∴DH=$\frac{6}{5}$，AH=$\frac{8}{5}$，
∴CH=AC-AH=$\frac{17}{5}$，
∴tan∠ACD=$\frac{DH}{CH}$=$\frac{6}{17}$．

點(diǎn)評 本題考查了銳角三角函數(shù)，梯形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．