Question

12．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，ED、AC的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若EB=$\frac{3}{2}$，且sin∠CFD=$\frac{3}{5}$，求⊙O的半徑與線段AE的長．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)OD，如圖，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，則∠B=∠ODC，于是可判斷OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；
（2）在Rt△ODF利用正弦的定義得到sin∠OFD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{3}{5}$，則可設(shè)OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{3}{5}$，可得到AE=$\frac{24}{5}$x，接著表示出BE得到$\frac{6}{5}$x=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{5}{4}$，于是可得到AE和OD的長．

解答 （1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{3}{5}$，
設(shè)OD=3x，則OF=5x，
∴AB=AC=6x，AF=8x，
在Rt△AEF中，∵sin∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{3}{5}$•8x=$\frac{24}{5}$x，
∵BE=AB-AE=6x-$\frac{24}{5}$x=$\frac{6}{5}$x，
∴$\frac{6}{5}$x=$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{5}{4}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$•$\frac{5}{4}$=6，
OD=3•$\frac{5}{4}$=$\frac{15}{4}$，
即⊙O的半徑長為$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當(dāng)已知條件中明確指出直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連接過該公共點(diǎn)的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．靈活應(yīng)用三角函數(shù)的定義是解決（2）小題的關(guān)鍵．