Question

3．如圖，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c．
（1）若∠B=36°，b=1，則c=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
（2）如圖1，若a=6，b=4，則c的值；
（3）如圖2，若∠A=2∠B=4∠C．若c=3，求$\frac{a+b}{ab}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作∠ACB的平分線CE交AB于E．設(shè)AE=x，由△ACE∽△ABC，得$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，列出方程即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作∠BAC的平分線交BC于D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，設(shè)AE=x，由△CAD∽△CBA，得$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，列出方程求出x，再由$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DE}{\frac{1}{2}•AC•DF}$=$\frac{AB}{AC}$，即可求出出AB，解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AD平分∠BAC交BC于D，過(guò)點(diǎn)A作∠DAC的平分線交CD于E，首先證明DA=DB，AB=AE=EC，設(shè)DB=DA=x，則DE=a-c-x，由△ADE∽△CAB，得到$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{a-c-x}{c}$=$\frac{x}$     ①，由$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{CE}$，得到$\frac{x}{c}$=$\frac{a-x}$         ②，由①②消去x，進(jìn)行變形即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作∠ACB的平分線CE交AB于E．

∵∠A=2∠B，∠B=36°，
∴∠A=72°，∠ACB=180°-∠B-∠A=72°，
∴∠ACE=∠BCE=36°，
∴∠AEC=180°-∠A-∠ACE=72°，
∴∠A=∠AEC，∠B=∠ECB，
∴CA=CE，CE=BE，
∴AC=EC=BE=1，設(shè)AE=x，
∵∠ACE=∠B，∠A=∠A，
∴△ACE∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$，
∴$\frac{1}{1+x}$=$\frac{x}{1}$，
∴x²+x-1=0，
∴x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$（舍棄），
∴AB=BE+AE=1+$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∵∠A=∠ACB=72°，
∴BC=AB=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴c=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

（2）過(guò)點(diǎn)A作∠BAC的平分線交BC于D，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
設(shè)BD=x，則CD=6-x

∵∠CAB=2∠B，∠CAD=∠DAB，
∴∠CAD=∠B，∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{6-x}{4}$=$\frac{4}{6}$，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∴點(diǎn)DE=DF，
∵$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BD}{DC}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•DE}{\frac{1}{2}•AC•DF}$=$\frac{AB}{AC}$
∴$\frac{\frac{10}{3}}{\frac{8}{3}}$=$\frac{AB}{4}$
∴AB=5，即c=5．

（3）過(guò)點(diǎn)A作AD平分∠BAC交BC于D，過(guò)點(diǎn)A作∠DAC的平分線交CD于E

∵∠A=2∠B=4∠C，
∴∠B=∠DAB=∠AEC，
∴DA=DB，AB=AE=EC=c
設(shè)DB=DA=x，則DE=a-c-x
∵∠ADE=∠ADC，∠DAE=∠C，
∴△ADE∽△CAB
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{a-c-x}{c}$=$\frac{x}$     ①
由（2）同理可得，$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{CE}$，
即$\frac{x}{c}$=$\frac{a-x}$         ②
由①+②可得，$\frac{a-c}{c}$=$\frac{a}$，
∴$\frac{a}{c}$-1=$\frac{a}$，
∴$\frac{a+b}$=$\frac{a}{c}$，
∴$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{1}{c}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、角平分線、方程組等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用面積法，推得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．