Question

17．已知關于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0
（1）求證：不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的底邊長為a=3，兩腰的長b、c恰好是這個方程的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程各項的系數(shù)利用根的判別式即可得出△=（2k-3）²≥0，此題得證；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出k的值，將其代入方程求出b、c的值，再根據(jù)三角形的周長公式即可得出結論．

解答 （1）證明：在方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0中，
△=[-（2k+1）]²-4×1×4（k-$\frac{1}{2}$）=（2k-3）²≥0，
∴不論k取什么實數(shù)值，這個方程總有實數(shù)根；
（2）解：∵三角形為等腰三角形，
∴△=（2k-3）²=0，
∴k=$\frac{3}{2}$．
將k=$\frac{3}{2}$代入原方程中，得：x²-4x+4=0，
解得：b=c=2，
∴C_△ABC=A+B+C=7．

點評 本題考查了根的判別式以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)方程根的判別式的符號確定方程解得情況是解題的關鍵．