Question

已知點(diǎn)A（3，4）、B（n，0）在一次函數(shù)y=2x+m的圖象上．
（1）分別求m、n的值；
（2）能否在y軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、O、A為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得m，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得n；
（2）存在，可先求得B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接B′A交y軸于一點(diǎn)P，則該點(diǎn)即為所可，根據(jù)A、B′的坐標(biāo)可求得直線AB′的解析式，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）分OA=OQ、OA=AQ和OQ=AQ三種情況，分別根據(jù)條件得到關(guān)于Q點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，
∴6+m=4，解得m=-2，
∴直線解析式為y=2x-2，
又∵B點(diǎn)在一次函數(shù)圖象上，
∴2n-2=0，
解得n=1；
（2）由（1）可知B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），則其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′為（-1，0），
如圖1，連接AB′交y軸于點(diǎn)P，則PA+PB的值最小，
設(shè)直線AB′解析式為y=kx+b，
把A、B′兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得

3k+b=4 -k+b=0

，
解得

k=1 b=1

，
∴直線AB′的解析式為y=x+1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
即在y軸上存在P點(diǎn)使PA+PB的值最小，其坐標(biāo)為（0，1）；

（3）由A（3，4）可求得OA=5，
當(dāng)△OAQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)OA=OQ時(shí)，則OQ=5，設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，0），則有|x|=5，解得x=5或-5，所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）或（-5，0）；
②當(dāng)OA=AQ時(shí)，過A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖2，
則OM=MQ=4，所以O(shè)Q=2OM=8，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（8，0）；

③當(dāng)OQ=AQ時(shí)，設(shè)Q坐標(biāo)為（x，0），過A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖3，

則OQ=AQ=x，NQ=ON-OQ=|3-x|，且AN=4，
在Rt△ANQ中，由勾股定理可得AQ²=AN²+NQ²，
即x²=4²+（3-x）²，解得x=

25

6

，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

25

6

，0）；
綜上可知在x軸上存在點(diǎn)Q使△OAQ為等腰三角形，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）或（-5，0）或（8，0）或（

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6

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)的綜合應(yīng)用，在（1）中掌握點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵，在（2）中確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中分三種情況分別得出關(guān)于Q點(diǎn)的坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的綜合．