Question

如圖1，已知⊙O的弦MN所對的弧是120°，圓心O到MN所在的直線的距離是4．
（1）求弦MN的長；
（2）如圖2，若點M是

AB

的中點，弦AB與MN交于D，請直接寫出：∠ADN=

 

度．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接OM、ON，過O作OD⊥MN于D，根據垂徑定理求出MN=2MD，根據等腰三角形的性質求出∠MOD=60°，求出∠OMD，解直角三角形求出即可；
（2）連接BN，求出

AM

和

BM

的度數(shù)相等，設度數(shù)為x°，根據劣弧MN的度數(shù)是120°，求出優(yōu)弧MN的度數(shù)為240°，根據三角形外角性質得出∠ADN=∠ABN+∠MNB，即可求出答案．

解答： 解：（1）如圖：連接OM、ON，過O作OD⊥MN于D，

∵⊙O的弦MN所對的弧是120°，
∴∠MON=120°，
∵OM=ON，
∴∠MOD=∠NOD=60°，MN=2MD，
∴∠OMD=30°，
∵圓心O到MN所在的直線的距離是4，
∴OD=4，
∴OM=2OD=8，由勾股定理得：MD=

82-42

=4

3

，
∴MN=2MD=8

3

；

（2）如圖：連接BN，

∵點M是

AB

的中點，
∴

AM

和

BM

的度數(shù)相等，設度數(shù)為x°，
∵劣弧MN的度數(shù)是120°，
∴優(yōu)弧MN的度數(shù)為360°-120°=240°，
∵∠ADN=∠ABN+∠MNB=

1

2

（240°-x°）+

1

2

•x°=120°．
故答案為：120．

點評：本題考查了垂徑定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，圓周角定理的應用，綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，注意：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．