Question

已知如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)，sinα=

2

3

，AC=4

5

，求S_△ABC．

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形

專題：計算題

分析：作DE⊥BC于E，如圖，則DE∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CDE=∠ACD=α，由于D是AB的中點(diǎn)，則DE為△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到DE=

1

2

AC=2

5

，CE=BE，在Rt△CDE中，利用正弦的定義得到sin∠CDE=

2

3

=

CE

CD

，則可設(shè)CE=2a，CD=3a，利用勾股定理得DE=

5

a，則

5

a=2

5

，解得a=2，可計算出BC=2CE=8，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：作DE⊥BC于E，如圖，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥AC，
∴∠CDE=∠ACD=α，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE=

1

2

AC=2

5

，CE=BE，
在Rt△CDE中，sin∠CDE=sinα=

2

3

=

CE

CD

，
設(shè)CE=2a，CD=3a，
∴DE=

CD2-CE2

=

5

a，
∴

5

a=2

5

，解得a=2，
∴CE=4，
∴BC=2CE=8，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×4

5

×8=16

5

．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．