Question

19．如圖1，某橋主橋拱為拋物線型，當水面在AB時，測得水面寬為20m，拱頂離水面5m，以水平線AB為x軸，點A為原點建立平面直角坐標系（如圖2）．
（1）求此橋拱線所在拋物線的解析式；
（2）水面上升2m，到達CD位置時，水面寬度減少多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知拋物線頂點坐標為（10，5），點B坐標為（20，0），待定系數(shù)法求解可得；
（2）求出當y=2時x的值，即可得CD的長，繼而知減少的寬度．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知拋物線頂點坐標為（10，5），點B坐標為（20，0），
設拋物線解析式為y=a（x-10）²+5，
將點B（20，0）代入，得：100a+5=0，
解得：a=-$\frac{1}{20}$，
∴此橋拱線所在拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{20}$（x-10）²+5；

（2）根據(jù)題意，當y=2時，-$\frac{1}{20}$（x-10）²+5=2，
解得：x₁=10+2$\sqrt{15}$，x₂=10-2$\sqrt{15}$，
此時水面寬CD=10+2$\sqrt{15}$-（10-2$\sqrt{15}$）=4$\sqrt{15}$，
∴水面上升2m，到達CD位置時，水面寬度減少（20-4$\sqrt{15}$）m．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的應用，理解題意構建二次函數(shù)模型是解題的關鍵．