Question

如圖，正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AD，CE相交于F．求證：
（1）△AEF是等腰三角形；
（2）四邊形ABCE是等腰梯形．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定,等腰三角形的判定

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)正五邊形的內(nèi)角和求得正五邊形的各個(gè)角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的性質(zhì)求得△AEF的各個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)等角對(duì)等邊即可證得；
（2）根據(jù)（1）的計(jì)算，即可證明∠BAE+∠AEC=180°，即可證得AB∥CE，然后根據(jù)正多邊形的定義證得．

解答：證明：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，
∴正五邊形的各角都是180°-

360°

5

=108°，
∵△CDE中，CD=DE，
∴∠CED=

180°-108°

2

=36°，
同理，∠DAE=36°，
∴∠AEC=108°-36°=72°，
∴∠AFE=180°-36°-72°=72°，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，即△AEF是等腰三角形；
（2）∵∠BAE+∠AEC=108°+72°=180°，
∴AB∥CE，
又∵BC=AE，
∴四邊形ABCE是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正多邊形的計(jì)算，以及等腰三角形的性質(zhì)，和等腰梯形的定義，正確求得圖中角的度數(shù)是關(guān)鍵．