Question

3．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，AC=2，AD=1，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）如圖1，當(dāng)邊AD與邊AB重合時(shí)，連接DF，求證：DF⊥CF；
（2）若∠BAE=135°，如圖2，求CF²的值；
（3）將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，直接寫出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據(jù)∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（2）先證明△DEF≌△MBF，得到DE=MB，DF=FM，再判斷出△DCM是等腰直角三角形，由勾股定理計(jì)算即可；
（3）先由（1）知，AE=$\sqrt{2}$，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)AB的中點(diǎn)為圓心，$\frac{1}{2}$AE為半徑的圓的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，點(diǎn)F為BE中點(diǎn)
∴DF=$\frac{1}{2}$BE，CF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF．
（2）證明：如圖1，

由（1）有，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∵∠ADE=∠ACB=90°，
∵∠BAE=135°，
∴∠ACB=∠EAC=90°，∠DAC=45°，AD=DE，AC=BC，∠AED=∠ABC=45°，
∴AE∥BC，
∴∠AEF=∠FBC，
∴∠DEF=∠BFM，
∵F為BE中點(diǎn)，
∴EF=BF．
∴△DEF≌△MBF．
∴DE=MB=AD，
∵AC=BC，∠DAC=∠MBC=45°，
∴△ADC≌△BMC，
∴DC=MC．∠DCA=∠MCB
∵∠ACB=90°，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴CF是△DCM是等腰直角三角形斜邊中線，
∵AC=2，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=2$\sqrt{2}$，
∵AD=1，
∴ED=MB=1，
∴AM=2$\sqrt{2}$-1，在Rt△MAD中，由勾股定理，得DM²=AD²+AM²=10-4$\sqrt{2}$，
∴CF²=（$\frac{1}{2}$DM）²=$\frac{1}{4}$DM²=$\frac{5}{2}-\sqrt{2}$；
（3）點(diǎn)F是以AB的中點(diǎn)為圓心，$\frac{1}{2}$AE為半徑的圓的周長(zhǎng)，
由（1）知，AE=$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)=2π×（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\sqrt{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的全等，勾股定理，圓的面積，用勾股定理依次計(jì)算線段的長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)．